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Introducción a la Bioestadística

ÍNDICE
ÍNDICE..........................................................................................................................2
INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA.....................................................................5
Conceptos estadísticos básicos...................................................................................6
Población y Muestra...................................................................................................6
Concepto de sesgo......................................................................................................6
Estadística descriptiva y inferencia estadística...........................................................6
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA...................................................................................7
Bases de datos............................................................................................................7
Proporción "p"..........................................................................................................10
Porcentaje "%"..........................................................................................................10
Error estándar de una proporción.............................................................................11
Frecuencia, porcentaje de casilla/acumulado...........................................................12
La media...................................................................................................................12
La Mediana...............................................................................................................13
La Moda...................................................................................................................14
La Varianza..............................................................................................................14
La Desviación Estándar............................................................................................14
Los Percentiles y Cuartiles.......................................................................................15
Nota sobre los percentiles.....................................................................................16
Amplitud intercuartil................................................................................................17
Amplitud...................................................................................................................17
El coeficiente de variación.......................................................................................17
Error estándar de una media.....................................................................................18
Estandarización de una variable cuantitativa...........................................................19
EJEMPLOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA.....................................................20
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL.................................................................................24
Prueba de normalidad de Kolmogorov-Smirnov......................................................26
INTERVALO DE CONFIANZA DE UNA PROPORCION......................................28
Estimación por intervalo de una proporción poblacional.........................................32
TAMAÑO DE MUESTRA NECESARIO PARA ESTIMAR UNA PROPORCIÓN
POBLACIONAL..........................................................................................................35
Fórmula para el cálculo del tamaño de muestra.......................................................36
Corrección por finitud de población.........................................................................37
INTERVALO DE CONFIANZA DE UNA MEDIA...................................................37
Estimación por intervalo de una media poblacional.................................................40
TAMAÑO DE MUESTRA NECESARIO PARA ESTIMAR UNA MEDIA
POBLACIONAL..........................................................................................................41
PRUEBAS DE HIPÓTESIS.........................................................................................42
PRUEBAS DE HIPÓTESIS CON DOS VARIABLES CUALITATIVAS.................43
Muestras Independientes: Prueba de Ji al cuadrado.................................................43
La prueba de Ji al cuadrado con la corrección de Yates...........................................45
La prueba exacta de Fisher.......................................................................................47
Intervalo de confianza de la diferencia entre proporciones:.....................................48
Estimación del tamaño de muestra necesario para hallar estadísticamente
significativa una diferencia entre dos proporciones:............................................................49
RELACIÓN ENTRE UNA VARIABLE CUALITATIVA DICOTÓMICA Y UNA
CUANTITATIVA........................................................................................................51
La prueba 't' de Student para datos independientes..................................................51
Intervalo de confianza de la diferencia entre dos medias.........................................53
Estimación del tamaño de muestra necesario para hallar estadísticamente
significativa una diferencia entre dos medias:.....................................................................54
La prueba no paramétrica 'U' de Mann-Whitney......................................................54
RELACIÓN ENTRE UNA VARIABLE CUANTITATIVA MEDIDA EN DOS
MOMENTOS DIFERENTES......................................................................................57
La prueba ‘t’ de Student para datos apareados.........................................................57
Intervalo de confianza de las diferencias..................................................................58
PRUEBAS DE HIPÓTESIS CON UNA VARIABLES CUALITATIVAS MEDIDA
EN DOS MOMENTOS DISTINTOS..........................................................................59
Prueba de Mc Nemar................................................................................................59
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN..............................................................................62
Diagrama de dispersión............................................................................................62
La Regresión.............................................................................................................64
La Correlación..........................................................................................................66
MEDIDAS DE ASOCIACIÓN EN LOS ESTUDIOS EPIDEMIOLÓGICOS...........68
El Riesgo Relativo (RR)...........................................................................................68
Intervalo de confianza de un RR..............................................................................69
La Odds Ratio (OR).................................................................................................70
Intervalo de confianza de un OR..............................................................................71
Confusión e interacción............................................................................................71
Confusión.................................................................................................................71
Interacción................................................................................................................74
VALORACIÓN DE PRUEBAS DIAGNÓSTICAS....................................................75
Prevalencia...............................................................................................................75
Sensibilidad..............................................................................................................75
Especificidad............................................................................................................75
Falsos positivos........................................................................................................75
Falsos negativos........................................................................................................75
Valor predictivo positivo..........................................................................................75
Valor predictivo negativo.........................................................................................75
NÚMERO DE PACIENTES QUE NECESITAMOS TRATAR NNT.......................78
ALFA DE CRONBACH..............................................................................................81
ÍNDICE KAPPA SIMPLE...........................................................................................83
Anexo I (tabla de percentiles)...................................................................................85
Anexo II (tabla ‘z’)...................................................................................................86
Anexo III (tabla ‘t’)..................................................................................................87
Anexo IV (tabla X2)..................................................................................................88
EJERCICIOS................................................................................................................89
TABLAS EJEMPLOS................................................................................................100

Apuntes de Bioestadística

Índice general
1. Introducción a R 11
1.1. Ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1. Ayuda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. Redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2. Comparación de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1. Renglones y columnas en matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2. Ecuaciones lineales con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4. Factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Data frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6. Importar y exportar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.1. Importar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.2. Exportar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Bioestadística 20
1
2.1. Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Tipos de estudios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Tipos de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Diseño experimental 23
3.1. Métodos estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Hipótesis y experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Máxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4. Principio de parsimonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5. Replicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4. Tablas de Frecuencia 27
4.1. Datos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2. Datos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.1. Tablas de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.2. Tablas de tronco y hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.3. Histogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5. Estadística Descriptiva 33
5.1. Tendencia central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.1. La media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.2. La mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.3. La moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2. Variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2
5.2.1. El rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2.2. Suma de cuadrados (SS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.3. La varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.4. Desviación Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.5. Error estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.6. Cuantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.7. Boxplots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6. Análisis Gráfico 39
6.1. QQ-plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.2. Stripcharts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3. Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.4. Dotcharts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.5. Gráficas con condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7. Muestreo 46
7.1. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8. Probabilidad 48
8.1. Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.2. Concepto de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.3. Determinación de resultados posibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.3.1. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3.2. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3
8.4. Muestreo aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.5. Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.6. Máxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9. Distribución Normal 55
9.1. Áreas bajo la curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2. Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.3. Función de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.4. Función de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.5. Cuantiles normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.6. Normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.7. Teorema del límite central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10. Estimación 61
10.1. Intervalos de Confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.2. Distribución t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
11. Bootstrap 63
11.1. Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.2. Jackknife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
11.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
12. Prueba de Hipótesis 66
12.1. Pruebas de una muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4
12.2. Dos varianzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
12.3. Dos medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
12.3.1. Medias con varianzas diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
12.3.2. Prueba de Mann-Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
12.4. Muestras pareadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
13. ANOVA 75
13.1. ANOVA sobre la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
13.2. Comparación entre grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
13.2.1. Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
13.2.2. Comparación por pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
13.3. Pruebas no-paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
13.3.1. Pruebas multivariadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
14. Distribuciones discretas 80
14.1. Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
14.2. Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
14.2.1. Tablas de contingencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
14.2.2. Riesgo reltativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
14.2.3. Relación de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
14.2.4. Pruebas de χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
15. Regresión y Correlación Lineal 85
15.1. Regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
15.1.1. Regresión en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
15.2. Correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5
16. Ajuste de modelos 89
16.1. Modelos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
16.1.1. Criterios de Información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
16.1.2. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
16.1.3. Predicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
16.2. Modelos No Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
16.2.1. Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
17. Modelos matemáticos 96
17.1. Modelos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
17.1.1. Enfermedades infecciosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
17.1.2. Modelo Presa – Depredador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
17.2. Modelos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
17.2.1. Crecimiento y decaimiento exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
17.2.2. Ecuación logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
17.2.3. Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
18. Análisis de Sobrevivencia 104
18.1. Funciones de sobrevivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
18.1.1. Función de densidad de muerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
18.1.2. Función de muerte acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
18.1.3. Función de sobrevivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
18.1.4. Función de riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
18.2. Kaplan-Meier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
18.2.1. Ejemplo con datos censurados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
18.3. Modelo de Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6
18.3.1. Análisis sin datos censurados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
18.3.2. Análisis con datos censurados sin riesgo proporcional . . . . . . . . . . . . 111
19. Análisis de Series de Tiempo 113
19.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
19.2. Análisis preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
19.2.1. Prueba de independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
19.3. ACF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
19.4. FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
19.4.1. Periodograma acumulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
19.4.2. Espectro de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
19.5. Mapas de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Libro de Bioestadística

Indice general
1. Conceptos previos 13
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2. ¿Que es la estadıstica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Elementos. Poblacion. Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Organizacion de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1. Variables estadısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. Tablas estadısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Representaciones Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1. Graficos para variables cualitativas . . . . . . . . . . 22
1.5.2. Graficos para variables cuantitativas . . . . . . . . . 26
1.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2. Medidas descriptivas 39
2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2. Estadısticos de tendencia central . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1. La media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.2. La mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.3. La moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.4. Relacion entre media, mediana y moda . . . . . . . 47
2.3. Estadısticos de posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5
6 INDICE GENERAL
2.4. Medidas de variabilidad o dispersion . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.1. Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.2. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.3. Desviacion tıpica o estandar . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.4. Ejemplo de calculo de medidas de dispersion . . . . 56
2.4.5. Coeficiente de variacion . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5. Asimetrıa y apuntamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.1. Estadısticos de asimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.2. Estadısticos de apuntamiento . . . . . . . . . . . . . 66
2.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3. Variables bidimensionales 73
3.1. introducci
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2. Tablas de doble entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.1. Distribuciones condicionadas . . . . . . . . . . . . . 76
3.3. Dependencia funcional e independencia . . . . . . . . . . . . 77
3.3.1. Dependencia funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.2. Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4. Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5. Coeficiente de correlacion lineal de Pearson . . . . . . . . . 81
3.6. Regresi
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.1. Bondad de un a juste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6.2. Regresion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4. Calculo de probabilidades y variables aleatorias 99
4.1. introducci
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2. Experimentos y sucesos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.1. Operaciones basicas con sucesos aleatorios . . . . . . 101
INDICE GENERAL 7
4.3. Experimentos aleatorios y probabilidad . . . . . . . . . . . 102
4.3.1. Nocion frecuentista de probabilidad . . . . . . . . . 102
4.3.2. Probabilidad de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.3. Definicion axiomatica de probabilidad . . . . . . . . 105
4.4. Probabilidad condicionada e independencia de sucesos . . . 106
4.5. Teoremas fundamentales del calculo de probabilidades . . . 109
4.5.1. Teorema de la probabilidad compuesta . . . . . . . . 110
4.5.2. Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos . . . . . 110
4.5.3. Teorema de la probabilidad total . . . . . . . . . . . 111
4.5.4. Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6. Tests diagnosticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5. Variables aleatorias 123
5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2. Variables aleatorias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3. Variables aleatorias continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4. Medidas de tendencia central y dispersion de v.a. . . . . . . 129
5.4.1. Valor esperado o esperanza matematica . . . . . . . 130
5.4.2. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6. Principales leyes de distribucion de variables aleatorias 131
6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2. Distribuciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2.1. Distribucion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2.2. Distribucion binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2.3. Distribucion geometrica ( o de fracasos) . . . . . . . 137
6.2.4. Distribucion binomial negativa . . . . . . . . . . . . 139
6.2.5. Distribucion hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . 141
8 INDICE GENERAL
6.2.6. Distribucion de Poisson o de los sucesos raros . . . . 143
6.3. Distribuciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3.1. Distribucion uniforme o rectangular . . . . . . . . . 144
6.3.2. Distribucion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3.3. Distribucion normal o gaussiana . . . . . . . . . . . 150
6.3.4. Distribucion χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3.5. Distribucion t de Student . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3.6. La distribucion F de Snedecor . . . . . . . . . . . . 157
6.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7. Introduccion a la inferencia 163
7.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2. Tecnicas de muestreo sobre una poblacion . . . . . . . . . . 164
7.2.1. Muestreo aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.2.2. Muestreo aleatorio estratificado . . . . . . . . . . . . 166
7.2.3. Muestreo sistematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.2.4. Muestreo por conglomerados . . . . . . . . . . . . . 169
7.3. Propiedades deseables de un estimador . . . . . . . . . . . . 169
7.3.1. Estimadores de maxima verosimilitud . . . . . . . . 170
7.3.2. Algunos estimadores fundamentales . . . . . . . . . 172
8. Estimacion confidencial 175
8.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2. Intervalos de confianza para la distribucion normal . . . . . 177
8.2.1. Intervalo para la media si se conoce la varianza . . 178
8.2.2. Intervalo para la media (caso general) . . . . . . . . 182
8.2.3. Intervalo de confianza para la varianza . . . . . . . 186
8.2.4. Estimacion del tama˜
no muestral . . . . . . . . . . . 187
INDICE GENERAL 9
8.2.5. Intervalos para la diferencia de medias de dos pobla-
ciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.3. Intervalos de confianza para variables dicotomicas . . . . . 195
8.3.1. Intervalo para una proporcion . . . . . . . . . . . . 195
8.3.2. Eleccion del tama˜
no muestral para una proporcion . 197
8.3.3. Intervalo para la diferencia de dos proporciones . . . 198
8.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9. Contrastes de hipotesis 203
9.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.1.1. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.2. Contrastes parametricos en una poblacion normal . . . . . . 210
9.2.1. Contrastes para la media . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.2.2. Contrastes para la varianza . . . . . . . . . . . . . . 218
9.3. Contrastes de una proporcion . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.4. Contrastes para la diferencia de medias apareadas . . . . . 224
9.5. Contrastes de dos distribuciones normales independientes . 228
9.5.1. Contraste de medias con varianzas conocidas . . . . 228
9.5.2. Contraste de medias homocedaticas . . . . . . . . . 231
9.5.3. Contraste de medias no homocedaticas . . . . . . . . 232
9.5.4. Contrastes de la razon de varianzas . . . . . . . . . . 234
9.5.5. Caso particular: Contraste de homocedasticidad . . 236
9.6. Contrastes sobre la diferencia de proporciones . . . . . . . 244
9.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10. Contrastes basados en el estadıstico Ji–Cuadrado 255
10.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.2. El estadıstico χ2 y su distribucion . . . . . . . . . . . . . . 256
10.3. Contraste de bondad de a juste para distribuciones . . . . . 264
10 INDICE GENERAL
10.3.1. Distribuciones de parametros conocidos . . . . . . . 265
10.3.2. Distribuciones con parametros desconocidos . . . . . 268
10.4. Contraste de homogeneidad de muestras cualitativas . . . . 269
10.5. Contraste de independencia de variables cualitativas . . . . 272
10.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
11. Analisis de la varianza 283
11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11.2. ANOVA con un factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11.2.1. Especificacion del modelo . . . . . . . . . . . . . . . 287
11.2.2. Algo de notacion relativa al modelo . . . . . . . . . 289
11.2.3. Forma de efectuar el contraste . . . . . . . . . . . . 291
11.2.4. Metodo reducido para el an
alisis de un factor . . . . 292
11.2.5. An
alisis de los resultados del ANOVA: Comparacio-
nes m
ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
11.3. Consideraciones sobre las hipotesis subyacentes en el modelo
factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
11.3.1. Contraste de homocedasticidad de Cochran . . . . . 298
11.3.2. Contraste de homocedasticidad de Bartlett . . . . . 299
11.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
12. Contrastes no parametricos 305
12.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
12.2. Aleatoriedad de una muestra: Test de rachas . . . . . . . . 306
12.3. Normalidad de una muestra: Test de D’Agostino . . . . . . 308
12.4. Equidistribucion de dos poblaciones . . . . . . . . . . . . . 309
12.4.1. Contraste de rachas de Wald—Wolfowitz . . . . . . 309
12.4.2. Contraste de Mann—Withney . . . . . . . . . . . . 310
12.5. Contraste de Wilcoxon para muestras apareadas . . . . . . 311
INDICE GENERAL 11
12.6. Contraste de Kruskal–Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
12.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Bibliografıa 321
12 INDICE GENERAL